0 引言

【研究意义】粒子群优化算法PSO (Particle Swarm Optimization，简称PSO)最早是由Kennedy和Eberhart^[1]于1995年提出的一种启发式全局优化技术。在粒子群优化算法中，每个优化问题的解都被看做是搜索空间中没有体积和质量的微粒，并延伸到N维空间中去，其中每个粒子的位置和飞行速度都表示为N维空间中的一个矢量。与其它优化算法相比，PSO对优化目标函数的模型没有特殊要求、可调整的参数少、算法收敛速度快, 并且具有随机性和扩充性，自提出以来就受到许多学者的关注，并已成功应用到许多领域中，如多目标优化^[2]、模糊系统控制^[3]和神经网络训练^[4]等。【前人研究进展】为提高粒子群优化算法的性能，很多学者对PSO算法进行不同方面的改进。如胡旺等^[5]通过增加极值扰动算子来帮助粒子有效摆脱局部极值点；刘伟等^[6]提出一个惯性权重函数，使算法的全局搜索能力与局部搜索能力得到良好平衡，加快收敛速度；Wang等^[7]通过在最佳粒子处进行柯西变异，以引导其它粒子向更好位置靠拢。【本研究切入点】将扰动因子加入速度更新公式中，采用自适应的惯性权重，并对优粒子进行自适应的柯西变异，以克服标准粒子群优化算法在迭代后期收敛速度慢、搜索精度不高、容易陷入局部最优等的缺点。【拟解决的关键问题】与其它粒子群改进方法相比较，得出每种改进方法的优缺点，为进一步研究粒子群优化算法的改进和应用提供科学依据。

1 标准粒子群优化算法(SPSO)

在粒子群优化算法中，每个粒子都有一个速度v_i，其可以决定粒子的飞行轨迹，粒子位置的优劣用一个适应度函数来确定。其中，粒子的飞行轨迹是根据其学习自身经验pbest和群体中的最好经验gbest来确定的。自身经验pbest是指，粒子知道本身当前位置和目前为止它发现的最好位置pbest；群体中的最好经验gbest是指，群体中目前为止发现的最好位置gbest。

Kennedy和Eberhart^[1]最早提出的PSO算法的速度与位置更新公式如下：

$\begin{align} & {{v}_{i}}t+1={{v}_{i}}\left( t \right)+{{c}_{1}}{{r}_{1}}\left( pbes{{t}_{i}}\left( t \right)-{{x}_{i}}\left( t \right) \right)+ \\ & {{c}_{2}}{{r}_{2}}\left( gbest\left( t \right)-{{x}_{i}}\left( t \right) \right), \\ \end{align}$

(1)

${{x}_{i}}\left( t+1 \right)={{x}_{i}}\left( t \right)+{{v}_{i}}\left( t+1 \right),$

(2)

其中：t为当前迭代次数，c₁和c₂为学习因子，r₁、r₂是分布在[0, 1]内的随机数，pbest为个体极值，gbest为全局极值。

为提高PSO算法的收敛性能，考虑到对不同的问题，局部和全局的优能力权衡不一样，Shi和Eberhart^[8]在1998年引入惯性权重ω，将其添加到基本粒子群算法的速度更新公式中，即

$\begin{align} & {{v}_{i}}\left( t+1 \right)=\omega \left( t \right){{v}_{i}}\left( t \right)+{{c}_{1}}{{r}_{1}}(pbes{{t}_{i}}\left( t \right)- \\ & {{x}_{i}}\left( t \right))+{{c}_{2}}{{r}_{2}}(gbest\left( t \right)-{{x}_{i}}(t)), \\ \end{align}$

(3)

$\omega ={{\omega }_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}}-\left( {{\omega }_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}}-{{\omega }_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}} \right)*t/{{T}_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}}。$

(4)

其中ω_max、ω_min分别是最大和最小惯性权重，t、T_max分别为粒子当前迭代次数和最大迭代次数。

2 粒子群优化算法的改进

在PSO中，粒子随个体极值pbest和全局极值gbest在解空间中移动，如果粒子的个体极值pbest一直处于优势，算法就容易陷入局部最优；当粒子陷入局部极值时，算法就会过早收敛，这样会使粒子停滞在局部区域，出现“早熟”现象，只能求得局部最优解。为使粒子避免“早熟”现象，本研究从以下3个方面对标准粒子群优化算法进行改进。

2.1 极值扰动的引入

粒子种群都有趋同性，即当基本粒子群优化算法处于进化停滞时，粒子速度v_i难以及时更新，粒子会出现“聚集”现象，这时粒子只能在一个较小的范围内搜索，容易使算法陷入局部最优。想要求得问题的全局最优解，必须克服粒子群优化算法易陷入局部最优的缺陷，其中，扩大搜索范围是有效的措施之一。因此，本研究在速度更新公式中引入扰动因子r₃和r₄，对个体极值pbest和全局极值gbest进行随机调整，从而扩大粒子的搜索范围，帮助粒子跳出局部最优。受胡旺等^[5]研究的启发，本研究将速度更新公式更改如下：

$\begin{align} & {{v}_{i}}\left( t+1 \right)=\omega \left( t \right){{v}_{i}}\left( t \right)+{{c}_{1}}{{r}_{1}}\left( {{r}_{3}}~2\text{ }pbes{{t}_{i}} \right.\left( t \right)- \\ & {{x}_{i}}\left. \left( t \right) \right)+{{c}_{2}}{{r}_{2}}\left( {{r}_{4}}~2\text{ }gbest \right.\left( t \right)-{{x}_{i}}\left. \left( t \right) \right), \\ \end{align}$

(5)

其中r₃和r₄是[0, 1]间均匀分布的随机数，个体极值pbest和全局极值gbest会在r₃、r₄的扰动下随机调整，使粒子在更大的空间范围内进行搜索，这样粒子找到最优解的概率就会增大，从而有可能跳出局部最优解。

2.2 自适应惯性权重

在粒子群优化算法中，惯性权重ω是一个很重要的可调整参数，设置合理的惯性权重值，可以平衡PSO算法的全局与局部寻优能力。较大的ω会使算法的全局寻优能力提高，而较小的ω会使算法的局部寻优能力增强。对于ω来说，线性递减的惯性权重只对某些问题有效，当待解决问题很复杂时，该法会使得PSO算法容易在进化末期陷入局部最优，无法找到要求的最优解。根据刘伟等^[6]的报道，本研究提出以下惯性权重改进公式：

$\omega ={{\omega }_{\text{min }\!\!~\!\!\text{ }}}+\text{exp}~{{\left( -50*t/{{T}_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}} \right)}^{2}}*({{\omega }_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}}-{{\omega }_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}})。$

(6)

由上述公式可知，此惯性权重函数为一个非线性的、呈指数形式递减的函数，它会使ω在迭代初期能长时间保持一个较大的值，从而增加迭代初期的全局搜索时间和全局搜索强度；而在迭代后期能长时间保持一个较小的值，从而增加迭代后期的局部搜索时间和局部搜索强度，加快收敛速度。

2.3 自适应柯西变异

PSO算法在收敛之前，最优解gbest的选取会在之前的几个候选粒子之间振荡。因此，对最优粒子gbest进行变异操作，可以扩展粒子的搜索空间，帮助粒子突破障碍逃离局部最优。在Wang等^[7]研究的基础上，本研究提出一种自适应的柯西变异策略，即对每次迭代中的gbest进行变异操作，避免粒子过早收敛。

柯西分布是一个连续型的分布函数，它的数学期望(即期望和方差)均不存在。标准柯西分布函数如下：

$F\left( x \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\text{arctan}~\left( x \right)。$

(7)

在本研究提出的自适应柯西变异策略中，首先分别计算N个个体的pbest在各维上的平均值avg_pbest(i)：

$avg\_pbest\left( i \right)=\left( \sum\limits_{j=1}^{N}{pbest}\text{ }[j]\ [i]\text{ } \right)/N,$

(8)

式(8) 中，i=1, 2, …D，pbest[j][i]是第j个粒子在第i维上的位置。应用下式(9) 计算avg_pbest(i)到gbest上每一维的距离，r_i越小，群体间越相似，将获得距原gbest位越远的变异位。

$r\left( i \right)=gbest\left( i \right)-avg\_pbest\left( i \right)。$

(9)

将r(i)代入到式(10) 中：

$xm\left( i \right)=\text{exp}~\left( -\rho \cdot t/{{T}_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}} \right)\cdot \left( 1-r\left( i \right)/{{r}_{\text{max }\!\!~\!\!\text{ }}} \right),$

(10)

式(10) 中，ρ是常数，本研究中取ρ=20；r_max是各维间最大距离。将式(10) 代入到式(7) 中。

自适应柯西变异操作如式(11) 所示：

$gbest\prime \left( i \right)=gbest\left( i \right)+z\left( i \right)\cdot F\left( xm \right),$

(11)

$z\left( i \right)=\left( \sum\limits_{j=1}^{N}{v}\left[ j \right]\ \left[ i \right] \right)/N,$

(12)

z(i)是各维变异权重平均值，v[j][i]为第j个粒子在第i维上的速度分量。

2.4 基于扰动的自适应粒子群优化算法

综合2.1~2.3，本研究提出一种基于扰动的自适应粒子群优化算法(Adaptive PSO based on disturbances)，简称ADPSO，该算法的步骤如下。

步骤1:随机初始化粒子的位置x_i与速度v_i；

步骤2:设置第i个粒子的当前位置为pbest，最优粒子的位置为gbest；

步骤3:粒子状态调整，按公式(2)、(5)、(6) 对粒子的速度和位置进行更新；

步骤4:根据适应度函数f(x)计算粒子i的适应度f(x_i)；

步骤5:比较f(x_i)与f(pbest)，若f(x_i)优于f(pbest)，就将该粒子的pbest更新为x_i；

步骤6:比较f(x_i)与f(gbest)，若f(x_i)优于f(gbest)，就将gbest更新为x_i；

步骤7:对当前获得的gbest用自适应柯西变异策略即式(11) 进行变异操作；

步骤8:判断算法是否达到最大迭代次数，若是，转步骤9，否则转步骤3；

步骤9:输出gbest和相应的目标函数值f(gbest)，算法结束。

3 仿真实验

将本研究提出的基于扰动的自适应粒子群优化算法(ADPSO)与以下3个算法相比较：① 标准粒子群优化算法(SPSO)，② 自适应变异的粒子群算法(AMPSO) ^[9]，③ 带收缩与发散操作的自适应粒子群优化算法(seAPSO) ^[10]。分别用5个基准测试函数f₁:Sphere、f₂:Rosenbrock、f₃:Ackley、f₄:Griewank、f₅:Rastrigin(理论最小值均为0) 来进行优化性能测试。

$\begin{align} & {{f}_{1}}\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{D}{x_{i}^{2}}, \\ & {{f}_{2}}\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{D-1}{\left[ {{\left( 1-{{x}_{i}} \right)}^{2}}+100{{\left( {{x}_{i+1}}-x_{i}^{2} \right)}^{2}} \right]}, \\ & {{f}_{3}}\left( x \right)=-\quad 20\quad \text{exp}\left( -\quad 0.2\quad \sqrt{\frac{1}{D}\sum\limits_{i=1}^{D}{x_{i}^{2}}}~ \right)- \\ & \text{exp}\left( \text{ }\frac{1}{D}\sum\limits_{i=1}^{D}{\text{cos}}2\pi {{x}_{i}} \right)+20+e, \\ & {{f}_{4}}\left( x \right)=\frac{1}{4000}\sum\limits_{i=1}^{D}{x_{i}^{2}}-\prod\limits_{i=1}^{D}{\left( \text{cos}~\frac{{{x}_{i}}}{\sqrt{i}} \right)}+1, \\ & {{f}_{5}}\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{D}{\left[ x_{i}^{2}-10\text{cos}\left( 2\pi {{x}_{i}} \right)+10 \right]}B \\ \end{align}$

对本实验中的参数进行如下设置：粒子群的种群规模N=40，粒子维数D=30，最大迭代次数T_max=500，c₁=c₂=1.496 2，ω_max=0.95，ω_min=0.4，AMPSO和seAPSO算法的参数按原文献的设置。针对每个函数运行20次求平均值，分别将SPSO、AMPSO、seAPSO、ADPSO记为A1、A2、A3、A4，仿真结果与统计数据见表 1，每个函数的适应度进化曲线如图 1~5所示。

函数f₁主要用于算法寻优精度的测试，是一个非线性的对称单峰函数，ADPSO算法相比于其它3个算法具有更快的收敛速度，优化性能更好(图 1)。函数f₂是一个很难极小化的典型病态二次函数，ADPSO相对其它算法收敛速度更快，获得的平均最优解也更好(图 2)。函数f₃、f₄、f₅均是具有大量局部极小值的多峰函数，普通算法很容易陷入局部最优从而停止进化，无法取得最优解或近似最优解。从图 3可以看出，SPSO、AMPSO和seAPSO算法都陷入局部最优，而ADPSO算法由于在迭代初期就突破障碍逃离局部最优点，在进化末期才能取得近似全局最优解。如图 4所示，AMPSO算法和ADPSO算法都能够最后收敛于接近理论最优解的全局最优解，具有良好的收敛效果，但ADPSO算法具有更快的收敛速度。从图 5可以发现，只有ADPSO算法在进化前期突破了障碍，并且算法的收敛速度和收敛精度都比其它3个算法要好很多。

通过以上分析可知，本研究提出的ADPSO算法较其它3种算法具有更高的收敛精度和收敛速度，是一种更加有效和快速的粒子群优化算法。

4 结论

本研究在标准PSO算法的基础上进行改进，提出基于扰动的自适应粒子群优化算法(ADPSO)。该算法在速度更新公式中增加扰动因子，采用自适应的惯性权重，并对最优粒子进行自适应的柯西变异。通过实验仿真与对比分析，提出的新算法增强了全局搜索能力，具有更高的优化性能，使粒子群的收敛精度和速度得到明显提高。