0 引言

【研究意义】近几年，轮式移动机器人的轨迹跟踪控制问题受到了广泛的关注和研究，它不仅具有非线性、强耦合和非完整约束，还具有外部扰动和参数不确定性。一些非线性控制策略被应用到该领域，包括自适应控制^[1]、神经网络控制^[2]、鲁棒控制^[3]和滑模控制^[4]等。Zeng等^[2]利用自适应神经网络技术和高增益状态观测技术设计了一种新的自适应控制器，克服了系统中参数未知和不可测状态带来的困难。【前人研究进展】 Xin等^[3]结合扰动观测器和自适应补偿器处理移动机器人动态系统的不确定性。沈艳军等^[5]和陈武华等^[6]介绍了非线性系统的自适应观测器，可用于观测移动机器人动力学模型中的扰动以提高系统的鲁棒性。Huang等^[7]研究了轮式移动机器人输入受限问题。轮式移动机器人作为具有饱和执行器的不确定系统，可用黎艳等^[8]的控制方法来处理。另外，很多文献将滑模控制应用于轮式移动机器人的研究中。Park等^[9]针对轮式移动机器人的运动学、动力学和电机动力学模型，利用反步法和动态面技术设计了具有σ修正的电压自适应控制器，实现了轨迹跟踪控制。针对模型中存在未知参数或外部扰动的情形，Hou等^[10]和Hwang等^[11]设计了自适应鲁棒模糊控制器来解决轨迹跟踪控制问题。Do等^[12]和Wang等^[13]结合Lyapunov函数法和反步法设计了输出反馈控制器，使得机器人渐近跟踪上期望轨迹。Zhu等^[14]和Buccieri等^[15]分别利用横截函数方法和微分平坦方法设计了轨迹跟踪与镇定统一控制器。Ou等^[16]和Mija等^[17]针对轮式移动机器人动力学模型利用滑模变结构设计了有限时间轨迹跟踪控制器。Li等^[18]将神经网络应用于非线性系统，而移动机器人系统亦可引入智能控制。例如，Boukens等^[19]针对存在时变参数不确定性和外部干扰的移动机器人轨迹跟踪问题，结合最优控制、神经网络和鲁棒控制技术设计了智能控制器。【本研究切入点】受Lu等^[20]的启发，本研究针对存在外界扰动和参数不确定性的轮式移动机器人设计了有限时间轨迹跟踪控制器。相对于先前的研究方法，本研究没有使用反步法，从而避免了反复使用虚拟控制器带来的积分膨胀问题。【拟解决的关键问题】为了便于轨迹跟踪控制器的设计，本研究将轮式移动机器人动态系统分为与线速度和角速度相关的两个子系统。首先，设计自适应快速终端滑模控制律，使得机器人的姿态角跟踪误差在有限时间内收敛到一个任意小的区域内，再设计线速度控制律，来保证位置跟踪误差的收敛性。

1 问题描述

本研究讨论的机器人模型如图 1所示。移动机器人由后部两轮进行驱动，驱动轮半径为r，间距为2b，质心为P。定义移动机器人在世界坐标系X－O－Y的位姿状态为q=(x, y, θ)^T，x和y分别为P点的横纵坐标，θ为移动机器人正方向与OX轴的夹角，其线速度为ν，角速度为ω。

轮式移动机器人的动态模型可以表示如下：

$\dot{q}=S\left( q \right)\eta ,$

(1)

$M\left( q \right)\ddot{q}+C\left( q,\dot{q} \right)+F\left( {\dot{q}} \right)+{{\tau }_{d}}=B\left( q \right)\tau -{{A}^{\text{T}}}\left( q \right)\lambda ,$

(2)

其中，η=(ν, ω)^T为线速度和角速度组成的向量；τ=(τ₁, τ₂)^T表示左右轮对应的转矩，M是一个对称的正定矩阵，C(q, ${\dot{q}}$ )表示科氏力矩阵，F( ${\dot{q}}$ )为表面摩擦力，λ代表拉格朗日系数。

假设机器人的质心和几何中心重合在P点，那么C(q, ${\dot{q}}$ )等于零。矩阵S(q)、M(q)、B(q)以及A(q)分别为

$\begin{align} & S\left( q \right)=\left[ \begin{matrix} \text{cos}\ \theta & 0 \\ \text{sin}\ \theta & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right],M\left( q \right)=\left[ \begin{matrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & J \\ \end{matrix} \right], \\ & B\left( q \right)=\frac{1}{r}\left[ \begin{matrix} \text{cos}\ \theta & \text{cos}\ \theta \\ \text{sin}\ \theta & \text{sin}\ \theta \\ b & -b \\ \end{matrix} \right],\text{ }A\left( q \right)={{\left[ \begin{matrix} -\text{sin}\ \theta \\ \text{cos}\ \theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}, \\ \end{align}$

其中，m是移动机器人质量，J代表其转动惯量。

在移动机器人满足非完整限制的情况下，A(q) $\dot{q}$ = 0。从式(1) 中，可得

$\ddot{q}=S\left( q \right)\dot{\eta }+\dot{S}\left( q \right)\eta ,$

(3)

将式(3) 代入式(2)，得到：

$\begin{align} & M\left( q \right)S\left( q \right)\dot{\eta }+M\left( q \right)\dot{S}\left( q \right)\eta +C\left( q,\dot{q} \right)+F\left( {\dot{q}} \right)+ \\ & {{\tau }_{d}}=B\left( q \right)\tau -{{A}^{\text{T}}}\left( q \right)\lambda 。\\ \end{align}$

(4)

根据M(q)、S(q)、A(q)和C(q, ${\dot{q}}$ )的定义可得：

S^T(q)A^T(q)=0，S^T(q)M(q) ${\dot{S}}$ (q)η=0，

将式(4) 左乘S^T(q)，并化简可得：

$\bar{M}\dot{\eta }+d=\bar{B}\tau ,$

(5)

其中， $\bar{M}=\left[ \begin{matrix} m & 0 \\ 0 & J \\ \end{matrix} \right],d={{\left( -{{d}_{1}},-{{d}_{2}} \right)}^{\text{T}}}={{S}^{\text{T}}}\left( F\left( {\dot{q}} \right)+{{\tau }_{d}} \right)$ ，以及 $\bar{B}=\frac{1}{r}\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ b & -b \\ \end{matrix} \right]。$

进一步可以得到简化的机器人动力学模型：

$\begin{align} & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dot{x}=v\text{cos}~\theta \\ \dot{y}=v\text{sin}~\theta \\ \dot{\theta }=\omega \\ \end{array} \right., \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\dot{v}={{u}_{1}}+{{d}_{1}} \\ J\dot{\omega }={{u}_{2}}+{{d}_{2}} \\ \end{array} \right., \\ \end{align}$

(6)

其中， $\left( \begin{matrix} {{u}_{1}} \\ {{u}_{2}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{r}\left( {{\tau }_{1}}+{{\tau }_{2}} \right) \\ \frac{b}{r}\left( {{\tau }_{1}}-{{\tau }_{2}} \right) \\ \end{matrix} \right),$ d₁和d₂表示系统中包含外部扰动和参数不确定性的集总扰动。

设移动机器人参考轨迹为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dot{x}{{~}_{r}}={{v}_{r}}\text{cos}\ {{\theta }_{r}} \\ {{{\dot{y}}}_{r}}={{v}_{r}}\text{sin}\ {{\theta }_{r}} \\ \dot{\theta }{{~}_{r}}={{\omega }_{r}} \\ \end{array} \right.。$

(7)

跟踪误差定义为

$\left[ \begin{matrix} {{x}_{e}} \\ {{y}_{e}} \\ {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]=~\left[ \begin{matrix} \text{cos}\ \theta & ~\text{sin}\ \theta & 0 \\ -\text{sin}\ \theta & \text{cos}\ \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x-{{x}_{r}} \\ y-{{y}_{r}} \\ \theta -{{\theta }_{r}} \\ \end{matrix} \right],$

(8)

进一步得到：

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dot{x}{{~}_{e}}=v-{{v}_{r}}\text{cos}\ {{\theta }_{e}}+\omega {{y}_{e}} \\ {{{\dot{y}}}_{e}}={{v}_{r}}\text{sin}\ {{\theta }_{e}}-\omega {{x}_{e}} \\ {{{\dot{\theta }}}_{e}}=\omega -{{\omega }_{r}}={{\omega }_{e}} \\ \end{array} \right.。$

(9)

下面将误差系统分为两个子系统，一个二阶子系统：

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dot{\theta }{{~}_{e}}={{\omega }_{e}} \\ J\dot{\omega }={{u}_{2}}+{{d}_{2}} \\ \end{array} \right.,$

(10)

和一个三阶子系统：

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\dot{x}}}_{e}}=v-{{v}_{r}}\text{cos}\ {{\theta }_{e}}+\omega {{y}_{e}} \\ {{{\dot{y}}}_{e}}={{v}_{r}}\text{sin}\ {{\theta }_{e}}-\omega {{x}_{e}} \\ m\dot{v}={{u}_{1}}+{{d}_{1}} \\ \end{array} \right.。$

(11)

2 跟踪控制器设计

为了便于叙述，给出如下引理和假设。

引理2.1^[8] 对于非线性系统，如果存在李雅普诺夫函数V(x)和实数λ₁＞0，λ₂＞0以及0＜κ＜1使得 ${\dot{V}}$ (x)+λ₁V(x)+λ₂V^κ(x)≤0，那么系统状态可在有限时间内达到平衡点，且其镇定时间为 ${{T}_{0}}\le \frac{1}{{{\lambda }_{1}}\left( 1-\kappa \right)}\text{ln}{{\lambda }_{1}}\frac{{{V}^{1-\kappa }}\left( {{x}_{0}} \right)+{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{2}}}$ 。

假设2.1 集总扰动d₁和d₂都是有界的，即d₁ ≤d_max ，|d₂|≤d_max，其中d_max为一个正常数。

2.1 角速度的有限时间控制器设计

本节中，选取如下滑模面：

S₁=ω_e+k₁θ_e+k₂S_au1,

${{S}_{au1}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \theta _{e}^{r},\quad if\quad \bar{S}{{~}_{1}}=0\ \ or\quad {{{\bar{S}}}_{1}}\ne 0,\text{ }\left| {{\theta }_{e}} \right|\ge \varepsilon \\ {{\iota }_{1}}{{\theta }_{e}}+{{\iota }_{2}}\text{sign}\left( {{\theta }_{e}} \right)\theta _{e}^{2},~\quad \text{if}\quad \bar{S}{{~}_{1}}\ne 0,\left| {{\theta }_{e}} \right|＜\varepsilon \\ \end{array} \right.,$

其中， ${{{\bar{S}}}_{1}}={{\omega }_{e}}+{{k}_{1}}{{\theta }_{e}}+{{k}_{2}}\theta _{e}^{r},r=\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}$ (r₁, r₂为正奇数)，且满足0＜r＜1以及 ${{\iota }_{1}}=\left( 2-\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right){{\varepsilon }^{\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}-1}}^{~},{{\iota }_{2}}=\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}-1 \right){{\varepsilon }^{~\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}-2}}$ ，将系统作变换得到下式：

$J{{{\dot{S}}}_{1}}={{F}_{2}}+{{u}_{2}},$

(12)

其中，F₂=－J ${\dot{\omega }}$ _c+JE+d₂，E=(k₁+k₂E_v)ω_e，以及

$\begin{align} & {{E}_{v}}= \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} r\ \theta _{e}^{r-1},~\quad \text{if}\quad {{{\bar{S}}}_{1}}=0\ \text{or}\quad \bar{S}{{~}_{1}}\ne 0,\left| {{\theta }_{e}} \right|\ge \varepsilon \\ {{\iota }_{1}}I+2{{\iota }_{2}}\text{sin}\left( {{\theta }_{e}} \right){{\theta }_{e}},~~\quad \text{if}\quad {{{\bar{S}}}_{1}}\ne 0,\left| {{\theta }_{e}} \right|＜\varepsilon \\ \end{array} \right.。\\ \end{align}$

引理2.2 如果S₁=S₁=0，那么系统可在有限时间内达到ω_e=0，θ_e=0。

证明 如果S₁=S₁=0，那么ω_e=－k₁θ_e－k₂θ_e^r。选取李雅普诺夫函数V_θe= $\frac{1}{2}$ θ_e²。对其求导可得：

${\dot{V}}$ _θe=θ_eω_e=－k₁θ_e²－k₂θ_e^r+1,

${{{\dot{V}}}_{{{\theta }_{e}}}}+2{{k}_{1}}{{V}_{{{\theta }_{e}}}}+{{k}_{2}}{{2}^{~\frac{r+1}{2}~}}{{V}^{\frac{r+1}{\theta _{e}^{2}}}}~\le 0。$

由引理2.1可知，θ_e可以在有限时间T₁内收敛到零，其中，

${{T}_{1}}\le {{T}_{0}}+\frac{1}{2{{k}_{1}}\left( \frac{1-r}{2} \right)}\text{ln}\ \frac{{{k}_{1}}{{V}^{\frac{1-r}{\theta _{e}^{2}}}}\left( {{\theta }_{e}}\left( 0 \right) \right)+{{k}_{2}}}{{{k}_{2}}}。$

假设2.2 在系统(12) 中，包含外部扰动和参数不确定性的集总扰动f₂满足：|F₂|≤J| ${\dot{\omega }}$ _r|+|d_max |+|D₁||ω|+|D₁||ω_r|≤ζ₁+ $\vartheta $ ₁|ξ₁|，其中 D₁ = J(k₁ + k₂E_v)， ξ₁ = max |ω|, |θ|, |ωθ|，ζ₁＞0， $\vartheta $ ＞0。

实际中，外部扰动是有界的，参考轨迹的θ_r和ω_r也是有界的，因此假设2.2是合理的。于是，设计了如下自适应控制器：

${{u}_{21}}=-{{\alpha }_{1}}{{S}_{1}}-{{u}_{adp}},$

(13)

其中，α₁S₁是反馈部分，自适应估计律u_adp用来压制集总扰动，其设计如下：

${{u}_{adp}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{S}_{1}}}{\left| {{S}_{1}} \right|}{{{\hat{\chi }}}_{1}},~\quad \text{if}\left| {{S}_{1}} \right|~{{{\hat{\chi }}}_{1}}＞{{\varepsilon }_{1}} \\ \frac{{{S}_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}}~\hat{\chi }_{1}^{2},\quad \text{if}\left| {{S}_{1}} \right|~{{{\hat{\chi }}}_{1}}\le {{\varepsilon }_{1}} \\ \end{array} \right.,$

(14)

其中，ε₁＞0是待定设计参数， ${{{\hat{\chi }}}_{1}}={{{\hat{\zeta }}}_{1}}+\hat{\vartheta }{{~}_{1}}\left| {{\xi }_{1}} \right|,{{\alpha }_{1}}＞0,{{{\hat{\zeta }}}_{1}},\hat{\vartheta }{{~}_{1}}$ 分别是参数ζ₁和 $\vartheta $ ₁的估计值。设计自适应律如下：

$\begin{align} & {{{\dot{\hat{\zeta }}}}_{1}}=-{{\varepsilon }_{1}}\hat{\zeta }{{~}_{1}}+\bar{p}{{~}_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|, \\ & {{{\dot{\hat{\vartheta }}}}_{1}}=-{{\varepsilon }_{2}}{{{\hat{\vartheta }}}_{1}}+{{{\bar{q}}}_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|\left| {{\xi }_{1}} \right|, \\ \end{align}$

(15)

其中，p₁＞0，q₁＞0以及ε₁＞0，ε₂＞0都是待定设计参数。令 ${{{\tilde{\zeta }}}_{1}}={{\zeta }_{1}}-{{{\hat{\zeta }}}_{1}}$ 和 ${{{\tilde{\vartheta }}}_{1}}={{\vartheta }_{1}}={{{\hat{\vartheta }}}_{1}}$ 是对应参数的估计误差。

定理2.1 根据动态系统(10)，通过控制器(13) 以及自适应律(14)，S₁, ${\tilde{\zeta }}$ ₁, ${\hat{\vartheta }}$ ₁是一致最终有界的。

证明 证明过程分为两步。

步骤1：在|S₁| ${\hat{\chi }}$ ₁＞ε₁的情况下，考虑如下李雅普诺夫函数：

${{V}_{1}}=\frac{1}{2}\left( S_{1}^{\text{T}}J{{S}_{1}}+\frac{1}{{{{\bar{p}}}_{1}}}\tilde{\zeta }_{1}^{2}~+\frac{1}{{{{\bar{q}}}_{2}}}~\tilde{\vartheta }_{1}^{2} \right),$

对其求导可得：

${{{\dot{V}}}_{1}}=-\left( {{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+{{S}_{1}}{{u}_{adp}} \right)+{{F}_{2}}-\frac{1}{{\bar{p}}}{{~}_{1}}{{{\dot{\hat{\zeta }}}}_{1}}\tilde{\zeta }{{~}_{1}}-\frac{1}{{\bar{q}}}{{~}_{1}}{{{\dot{\hat{\vartheta }}}}_{1}}{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}},$

(16)

由假设2.2可得：

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -\left( {{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+{{S}_{1}}{{u}_{adp}} \right)+{{\zeta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|+ \\ & {{\vartheta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|\left| {{\xi }_{1}} \right|-\frac{1}{{{{\bar{p}}}_{1}}}{{{\dot{\hat{\zeta }}}}_{1}}{{\xi }_{1}}-\frac{1}{{{{\bar{q}}}_{1}}}{{{\dot{\hat{\vartheta }}}}_{1}}{{{\tilde{\zeta }}}_{1}}, \\ \end{align}$

将自适应律代入可得：

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -\left( {{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+{{S}_{1}}{{u}_{adp}} \right)+{{\zeta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|+ \\ & {{\vartheta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|\left| {{\xi }_{1}} \right|-\frac{1}{{{{\bar{p}}}_{1}}}{{{\dot{\hat{\zeta }}}}_{1}}{{{\tilde{\zeta }}}_{1}}-\frac{1}{{{{\bar{q}}}_{1}}}{{{\dot{\hat{\vartheta }}}}_{1}}{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}}\le -({{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+ \\ & \left| {{S}_{1}} \right|~{{{\hat{\chi }}}_{1}})+{{\zeta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|+{{\vartheta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|\left| {{\xi }_{1}} \right|+\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}{{{\hat{\zeta }}}_{1}}{{{\tilde{\zeta }}}_{1}}+ \\ & \frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{q}_{1}}}{{{\hat{\vartheta }}}_{1}}\tilde{\vartheta }{{~}_{1}}-{{\zeta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|+\hat{\zeta }{{~}_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|-{{\vartheta }_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|\left| {{\xi }_{1}} \right|+ \\ & {{{\hat{\vartheta }}}_{1}}\left| {{S}_{1}} \right|\left| {{\xi }_{1}} \right|=-\left( {{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}-\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}{{{\hat{\zeta }}}_{1}}{{{\tilde{\zeta }}}_{1}}-\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{{\bar{q}}}_{1}}}{{{\hat{\vartheta }}}_{1}}{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}} \right)\le -{{\alpha }_{1}}S_{1}^{2} \\ & -\frac{{{\nu }_{1}}}{2{{{\bar{p}}}_{1}}}\tilde{\zeta }_{1}^{2}-\frac{{{\nu }_{2}}}{2{{{\bar{q}}}_{1}}}\tilde{\vartheta }_{1}^{2}+\frac{{{\nu }_{3}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}\zeta _{1}^{2}+\frac{{{\nu }_{4}}}{{{{\bar{q}}}_{1}}}\vartheta _{1}^{2}, \\ \end{align}$

于是，可以得到 ${\dot{V}}$ ₁≤－η₁V₁+δ₁，其中， ${{\eta }_{1}}=\text{min}\left( {{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},\frac{2\alpha }{J} \right),{{\delta }_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{3}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}~\zeta _{1}^{2}+\frac{{{\upsilon }_{4}}}{{{{\bar{q}}}_{1}}}\vartheta _{1}^{2},{{\upsilon }_{3}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}\left( 2{{o}_{1}}-1 \right)}{{{o}_{1}}},{{\upsilon }_{4}}=\frac{{{\varepsilon }_{2}}\left( 2{{o}_{2}}-1 \right)}{{{o}_{2}}},{{o}_{1}}＞\frac{1}{2},{{o}_{2}}＞\frac{1}{2}~$ 。

步骤2：在|S₁| ${\hat{\chi }}$ ₁≤ε₁的情况下，将控制器(13) 和自适应律(14) 代入可得：

$\begin{align} & {{{\dot{V}}}_{1}}\le -\left( {{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+\frac{S_{1}^{2}}{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\hat{\chi }}}_{2}} \right)+({{{\hat{\zeta }}}_{1}}+{{{\hat{\vartheta }}}_{1}}\left| {{\xi }_{1}}\left| ) \right|{{S}_{1}} \right|- \\ & \frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}{{{\hat{\zeta }}}_{1}}{{{\tilde{\zeta }}}_{1}}-\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{{\bar{q}}}_{1}}}{{{\hat{\vartheta }}}_{1}}{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}}\le -{{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+{{\left( \frac{{{S}_{1}}}{\sqrt{{{\varepsilon }_{1}}}}{{{\hat{\chi }}}_{1}}-\frac{\sqrt{{{\varepsilon }_{1}}}}{2}~ \right)}^{2}}- \\ & \frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}{{{\hat{\zeta }}}_{1}}{{{\tilde{\zeta }}}_{1}}-\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{{\bar{q}}}_{1}}}{{{\hat{\vartheta }}}_{1}}{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}}-\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{4}\le -{{\eta }_{1}}{{V}_{1}}+{{\delta }_{2}}, \\ \end{align}$

其中， ${{\delta }_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{3}}}{{{{\bar{p}}}_{1}}}\zeta _{1}^{2}+\frac{{{\upsilon }_{4}}}{{{{\bar{q}}}_{1}}}\vartheta _{1}^{2}+\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{4}$ 。根据文献[21]中的有界性定理， ${{S}_{1}},{{{\tilde{\zeta }}}_{1}},{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}}$ 是一致最终有界的。

从定理2.1可知控制器(13) 使子系统(10) 达到了一致有界。为了使系统达到有限时间稳定，在控制器中加入非线性反馈项－σ₁ sign (S₁)|S₁| ^{$\frac{1}{2}$} ，进而控制器改为

${{u}_{22}}=-{{u}_{21}}-{{\sigma }_{1}}\text{sign}\left( {{S}_{1}} \right)\left| {{S}_{1}} \right|{{~}^{\frac{1}{2}}}。$

(17)

将式(17) 代入式(12)，可得

$J{{{\dot{S}}}_{1}}={{{\tilde{F}}}_{2}}-{{\alpha }_{1}}{{S}_{1}}-{{\sigma }_{1}}\text{sign}\left( {{S}_{1}} \right){{\left| {{S}_{1}} \right|}^{\frac{1}{2}}},$

(18)

其中， ${\tilde{F}}$ ₂=F₂－u_adp，即 ${\tilde{F}}$ ₂=F₂ $-\frac{{{S}_{1}}}{\left| {{S}_{1}} \right|}{{{\hat{\chi }}}_{1}}$ 。根据定理2.1，S₁, ${{{\tilde{\zeta }}}_{1}},{{{\tilde{\vartheta }}}_{1}}$ 都是有界的，所以 ${\tilde{F}}$ ₂也是有界的，在此不妨假设| ${\tilde{F}}$ ₂|≤δ₃。其中，δ₃为正常数。

定理2.2 考虑系统(18)，在控制器(17) 和自适应律(14) 的作用下，滑模面S₁将在有限时间内收敛到区域Ǫ_S，然后跟踪误差θ_e和ω_e也会在有限时间内分别收敛到Ǫ_θ和Ǫ_ω，其中Ǫ_S=max (Ǫ_S1, Ǫ_S2)，Ǫ_θ=max (ε, ε_S)，Ǫ_ω=Ǫ_S+k₁Ǫ_θ+k₂Ǫ_θ^r；Ǫ_S1= $\frac{{{\delta }_{3}}}{{{a}_{1}}}$ ，Ǫ_S2= ${{\left( \frac{{{\delta }_{3}}}{2{{a}_{1}}} \right)}^{2}}$ ，ε_S=min $\left( \frac{_{\text{ǪS}}}{{{k}_{1}}},\sqrt{\frac{_{\text{ǪS}}}{{{k}_{1}}}} \right)$ 。

证明这里也分为两个步骤。

步骤1：先证明滑模面S₁将在有限时间内收敛到区域Ǫ_S。

考虑如下李雅普诺夫函数：

${{V}_{2}}=\frac{1}{2}S_{1}^{\text{T}}J{{S}_{1}},$

(19)

对其求导，并将式(18) 代入可得：

${{{\dot{V}}}_{2}}\le -({{\alpha }_{1}}S_{1}^{2}+{{\sigma }_{1}}{{\left| {{S}_{1}} \right|}^{~\frac{3}{2}~}})+\left| {{S}_{1}}{{\delta }_{3}} \right|。$

(20)

根据式(20)，在|S₁|＞Ǫ_S的情况下，

${{{\dot{V}}}_{2}}\le -{{\eta }_{2}}{{V}_{2}}-{{\eta }_{3}}V_{2}^{\frac{3}{4}~},$

其中 ${{\eta }_{2}}=\frac{2{{\alpha }_{1}}}{J},{{\eta }_{3}}={{\sigma }_{1}}{{\left( \frac{2{{\alpha }_{1}}}{J} \right)}^{\frac{3}{4}}}$ 。

步骤2：再证明跟踪误差θ_e和ω_e也会在有限时间内分别收敛到区域Ǫ_θ和Ǫ_ω。

在|θ_e|≥ε的情况下，根据S₁的表达式可得：

$\begin{align} & {{\omega }_{e}}+{{k}_{1}}{{\theta }_{e}}+{{k}_{2}}\theta _{e}^{r}={{\varepsilon }_{1}}, \\ & \left| {{\varepsilon }_{1}} \right|\le {{Ǫ}_{S}}, \\ \end{align}$

(21)

$\begin{align} & {{\omega }_{e}}+({{k}_{1}}-\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\theta }_{e}}}){{\theta }_{e}}+{{k}_{2}}\theta _{e}^{r}={{\varepsilon }_{1}}, \\ & {{\omega }_{e}}+{{k}_{1}}{{\theta }_{e}}+({{k}_{2}}-\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{\theta _{e}^{r}})\theta _{e}^{r}={{\varepsilon }_{1}}, \\ \end{align}$

(22)

根据引理2.2，当满足条件k₁－ $\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\theta }_{e}}}$ ＞0或k₂－ $\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{\theta _{e}^{r}}$ ＞0时，上述式(21) 演化成传统的快速终端滑模面，所以此情况下θ_e和ω_e会在有限时间内分别收敛；而在|θ_e|＜ε的情况下，θ_e已经在该临域内，θ_e和ω_e会在有限时间内分别收敛到Ǫ_θ和Ǫ_ω。

2.2 线速度的有限时间控制器设计

前面已经得到，控制器(17) 保证了角速度误差在有限时间内收敛到小区域Ǫ_ω。因此sin θ_e→0，cos θ_e→1。所以，动态子系统(11) 可以简化为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{{\dot{x}}}_{e}}=v-{{v}_{r}}+{{\omega }_{r}}{{y}_{e}} \\ {{{\dot{y}}}_{e}}=-{{\omega }_{r}}{{x}_{e}} \\ m\dot{v}={{u}_{1}}+{{d}_{1}} \\ \end{array} \right.,$

(23)

令Ω_e=x_e-sign (ω_r)y_e，定义Φ= ${\mathit{\dot{\Omega }}}$ _e=ν_e+|ω_r|x_e+ω_ry_e。

现控制器设计如下：

${{S}_{au2}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \mathit{\Omega }_{e}^{r},\rm{if}\quad {{{\bar{S}}}_{2}}=0\quad \rm{or}\quad {{{\bar{S}}}_{2}}\ne 0,\left| {{\mathit{\Omega }}_{e}} \right|\ge \varepsilon \\ {{\iota }_{3}}{{\mathit{\Omega }}_{e}}+{{\iota }_{4}}\rm{sign}\left( {{\mathit{\Omega }}_{e}} \right)\mathit{\Omega }_{e}^{2},\rm{if}\quad {{{\bar{S}}}_{2}}\ne 0,\left| {{\mathit{\Omega }}_{e}} \right|＜\varepsilon \rm{ } \\ \end{array} \right.,$

(24)

其中，S₂=Ω_e+k₁Ω_e+k₂Ω_e^r。

将系统作变换得到如下式子：

$m{{{\dot{S}}}_{2}}={{F}_{1}}+{{u}_{1}},$

(25)

其中， ${{F}_{1}}=-m\dot{v}{{~}_{r}}+{{d}_{1}}-{{\omega }^{2}}_{r}{{x}_{e}}+m[|{{{\dot{\omega }}}_{r}}|{{x}_{e}}+\left| {{~}_{r}}\left| {{y}_{e}}+ \right|{{\omega }_{r}} \right|\left( {{v}_{e}}+{{\omega }_{r}}{{y}_{e}} \right)]+m{{k}_{1}}\Phi +m{{k}_{2}}\Phi {{E}_{\omega }}$ ，

${{E}_{\omega }}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} r\ \Omega _{e}^{r-1},~\quad \rm{if}\quad {{{\bar{S}}}_{2}}=0~\ \rm{or}\quad {{{\bar{S}}}_{2}}\ne 0,\left| {{\mathit{\Omega }}_{e}} \right|\ge \varepsilon \\ {{\iota }_{3}}I+2{{\iota }_{4}}\,\rm{sign}\,\left( {{\mathit{\Omega }}_{e}} \right){{\mathit{\Omega }}_{e}},~\quad \rm{if}\quad {{{\bar{S}}}_{2}}\ne 0,\left| {{\mathit{\Omega }}_{e}} \right|＜\varepsilon \\ \end{array} \right.。$

引理2.3 如果S₂=S₂=0，那么系统可在有限时间内达到Ω_e=0，Φ=0。

此证明和引理2.2相似，故在此省略。

假设2.3 系统(25) 中，包含外部扰动和参数不确定性的集总扰动f₁满足：|F₁|≤ζ₂+ $\vartheta $ ₂|ξ₂|，其中|ξ₂|:=max {|Ω|, |Φ|, |Ω Φ|}，ζ₂＞0， $\vartheta $ ₂＞0。

实际中，外部扰动是有界的，移动机器人的质量也是有界的，参考轨迹的x_r，y_r，ν_r以及它们的导数也是有界的，因此假设2.3是合理的。于是，设计如下自适应控制器：

${{u}_{11}}=-{{\alpha }_{2}}{{S}_{2}}-{{u}_{adt}},$

(26)

其中，α₂S₂是反馈部分，自适应估计律u_adt用来压制集总扰动的上界，其设计如下：

${{u}_{adt}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{S}_{2}}}{\left| {{S}_{2}} \right|}{{{\hat{\chi }}}_{2}},\quad if\quad \left| {{S}_{2}} \right|~{{{\hat{\chi }}}_{2}}＞{{\varepsilon }_{2}} \\ \frac{{{S}_{2}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\hat{\chi }{{~}^{2}},\quad if\quad \left| {{S}_{2}} \right|~{{{\hat{\chi }}}_{2}}\le {{\varepsilon }_{2}} \\ \end{array} \right.,$

(27)

其中ε₂＞0是待定设计参数， ${{{\hat{\chi }}}_{2}}={{{\hat{\zeta }}}_{2}}+{{{\hat{\vartheta }}}_{2}}\left| {{\xi }_{2}} \right|,{{\alpha }_{2}}>0,{{{\hat{\zeta }}}_{2}},{{{\hat{\vartheta }}}_{2}}$ 分别是参数ζ₂和 $\vartheta $ ₂的估计值。设计自适应律如下：

$\begin{align} & {{{\dot{\hat{\zeta }}}}_{2}}=-{{\varepsilon }_{3}}{{{\hat{\zeta }}}_{2}}+{{{\bar{p}}}_{2}}\left| {{S}_{2}} \right|, \\ & {{{\dot{\hat{\vartheta }}}}_{2}}=-{{\varepsilon }_{4}}{{{\hat{\vartheta }}}_{2}}+{{{\bar{q}}}_{2}}\left| {{S}_{2}} \right|\left| {{\xi }_{2}} \right|, \\ \end{align}$

(28)

其中，p₂＞0，q₂＞0以及ε₃＞0，ε₄＞0都是待定设计的参数。 ${{{\tilde{\zeta }}}_{2}}={{\zeta }_{2}}-{{{\hat{\zeta }}}_{2}}$ 和 ${{{\tilde{\vartheta }}}_{2}}={{\vartheta }_{2}}-{{{\hat{\vartheta }}}_{2}}$ 是对应参数的估计误差。

定理2.3 根据动态系统(11)，通过控制器(26) 以及自适应律(27)， ${{S}_{2}},{{{\tilde{\zeta }}}_{2}},{{{\tilde{\vartheta }}}_{2}}$ 是一致最终有界的。

此证明和定理2.1证明相似，故在此省略。

从定理2.3可知控制器(26) 成功使子系统(11) 达到了一致有界。为了使系统达到有限时间稳定，在控制器中加入非线性反馈项－σ₂sign(S₂)|S₂| ^{$\frac{1}{2}$} ，进而控制器改为

${{u}_{12}}=-{{u}_{11}}-{{\sigma }_{2}}\text{sign}~\left( {{S}_{2}} \right)~{{\left| {{S}_{2}} \right|}^{\frac{1}{2}}},$

(29)

将式(31) 代入式(27)，可得

$J{{{\dot{S}}}_{2}}={{{\tilde{F}}}_{1}}-{{\alpha }_{2}}{{S}_{2}}-{{\sigma }_{2}}\text{sign}~\left( {{S}_{2}} \right)~{{\left| {{S}_{2}}~ \right|}^{\frac{1}{2}}},$

(30)

其中 ${\tilde{F}}$ ₁=F₁－u_adt。根据定理2.3， ${{S}_{2}},{{{\tilde{\zeta }}}_{2}},{{{\tilde{\vartheta }}}_{2}}$ 都是有界的，所以 ${\tilde{F}}$ ₁也是有界的，在此不妨假设| ${\tilde{F}}$ ₁|≤δ₄，其中δ₄为正常数。

定理2.4 考虑系统(30)，在控制器(29) 和自适应律(27) 的作用下，滑模面S₂将在有限时间内收敛到区域ρ_S，然后跟踪误差Ω_e也会在有限时间内收敛到ρ_Ω。

其中 ${{\rho }_{S}}=\text{max}\left( {{\rho }_{S1}},\text{ }{{\rho }_{S2}} \right),{{\rho }_{\Omega }}=\text{max}~\left( \varepsilon ,{{\varepsilon }_{S2}} \right);{{\rho }_{S1}}=\frac{{{\delta }_{4}}}{{{\alpha }_{2}}},{{\rho }_{S2}}={{\left( \frac{{{\delta }_{4}}}{2{{\alpha }_{2}}} \right)}^{2}},{{\varepsilon }_{S2}}=\text{min}\left( \frac{{{\rho }_{\text{S}}}}{{{k}_{1}}},\sqrt{\frac{{{\rho }_{\text{S}}}}{~{{k}_{1}}}} \right)~$ 。

此证明和定理2.2证明相似，故在此省略。

定理2.5 考虑子系统(23)，随着滑模面Ω_e=x_e－ sign (ω_r)y_e收敛到ρ_Ω，跟踪误差x_e和y_e也会分别收敛到区域ρ_x和ρ_y。其中${{\rho }_{x}}=\frac{{{\rho }_{\mathit{\Omega }}}}{\left| {{\omega }_{r}} \right|}~,{{\rho }_{y}}=\frac{{{\rho }_{\mathit{\Omega }}}}{\left| ~{{\omega }_{r}} \right|}~$ 。

证明考虑如下李雅普诺夫函数：

${{V}_{y}}=\frac{1}{2}y_{e}^{2},$

(31)

根据Ω_e=x_e－ sign (ω_r)y_e以及Ω_e收敛到ρ_Ω，可得|x_e－ sign(ω_r)y_e|＜ρ_Ω，对式(31) 求导可得：

${{\dot{V}}_{y}}={{y}_{e}}{{\dot{y}}_{e}}=-{{y}_{e}}{{\omega }_{r}}{{x}_{e}}\le -\left| {{\omega }_{r}} \right|y_{e}^{2}+\left| {{y}_{e}} \right|{{б}_{\Omega }},$

(32)

从上述不等式可知，在|y_e|＞ρ_y的情况下， ${\dot{V}}$ _y≤－|ω_r|V_y，所以y_e会收敛到区域ρ_y，同时x_e也会收敛到区域ρ_x。证毕。

3 仿真实验

为了验证控制器的有效性，在MATLAB下构建如式(1) 和(2) 的轮式移动机器人模型，并进行仿真。轮式移动机器人模型的参数选择如下：b=0.3 m，r=0.1 m，J=2.5 kg·m²以及m=4 kg。集总扰动参数设置为d₁=0.2ν+ω+ cos (te^－t)，d₂=ν+0.3ω+ sin t。参考移动机器人的初始位置和姿态设置为(x_r(0), y_r(0), θ_r(0))=(4, 2, $\frac{\pi }{2}$ )。轮式移动机器人的初始位置和姿态设置为(x(0), y(0), θ(0))=(5, 1, 0)。参考速度设置为ν_r=2 m/s，ω_r=1 rad/s。控制器和自适应律中各项参数设置为α₁=α₂=60，p₁= p₂=q₁=q₂=6，ε₁=ε₃=0.35，ε₂=ε₄=0.16，σ₁=σ₂=10，r₁=7，r₂=9，k₁=k₂=1，₁(0)= ${\hat{\zeta }}$ ₂(0)= ${\hat{\vartheta }}$ ₁(0)= ${\hat{\vartheta }}$ ₂(0)=0.1，ε=0.005，ε=0.05。图 2表明各项位姿误差最后收敛到平衡位置，图 3是参考轨迹和实际轨迹图，图 4对应控制转矩的控制量，实验结果很好地验证了控制器的有效性。

4 结论

本研究针对轮式移动机器人动力学模型，提出了一种有限时间自适应轨迹跟踪控制方法。结合快速终端滑模控制策略和自适应技术，保证了跟踪误差在外界扰动和参数不确定性情况下收敛到一个任意小的区域内。最后，稳定性分析和仿真实验证明了本方法的有效性，这为不确定轮式移动机器人的轨迹跟踪控制研究提供了一种新的方法。