【研究意义】就目前来说，材料是人类赖以存活和进步发展的物质基础。纳米材料、超导材料、光电子材料、生物医用材料以及新能源材料的优越性能是由其微观尺度下的结构决定的^[1-3]。在晶体材料中，周期完整排列为主要材料，非完整性则次之；但对于晶体材料的力学性能来说，起主要作用的却是晶体的非完整性，其周期完整性居于次要地位。也就是说，在晶体力学行为中，缺陷起主要作用。因此，材料的缺陷对材料变形的影响有十分重要的作用，关于这方面的研究也就非常有意义^[4-6]。【前人研究进展】晶体相场(PFC)方法是为了解决传统相场方法无法描述晶体周期结构特性这一缺陷而提出的。文献[7-9]提出的这种方法在时间尺度和空间尺度上的模拟具有很大的优势，后来更是发展成为可以替代传统分子动力学模拟的一种方法，一些难以通过实验和其他模拟方法观察到的现象也可以用晶体相场方法观察到。经过近年来的发展，晶体相场方法有了长足的进步，并在模拟晶体断裂、相结构转变、纳米晶粒长大、位错滑移与攀移等方面都有许多实际的应用^[10-14]。【本研究切入点】本研究采用的经典晶体相场方法基于经典密度泛函，同时结合了传统相场方法，用局域密度场表示序参量，成功地用有周期特征的原子密度函数来表现出晶格的周期排列。该方法可以很好地描述扩散在时间尺度上的微结构演化行为^[15-19]。【拟解决的关键问题】应用PFC方法研究双晶样品在单轴拉伸应变作用下晶界萌生的微裂纹演化机制，以及裂纹开裂时的特征，探究位错对纳米尺观下萌生裂纹及扩展的作用规律。

PFC模型能够揭示晶体点阵周期结构特性以及原子尺度下的空间分辨尺度，时间尺度为扩散时间尺度下的纳微结构演化。对于固态晶体材料，其原子的位置呈规则周期性排列，通过引入周期性相场变量ρ(r)，其空间分布的极大值位置对应于原子点阵的位置；对于均匀相(液相等)中的原子密度分布为均匀分布，其值为常量。用周期原子密度函数ρ(r)作为相场变量，要符合上述两方面的要求，其表达式可以写成：

式中，等号右边第1项反映的是晶格原子的周期排列结构特征，其中G为倒格子矢量，r为空间坐标矢量；第2项反映的是均匀相(如液相)等的原子密度均匀分布。此时，系统无量纲的自由能函数可以写成：

式中，γ为与温度有关的参数；▽²为拉普拉斯算符。在单模近似下，由二维体系自由能取极小值，可以求得上式的晶体相的一个稳定特解为

式中, $A=\frac{4}{5}{{\rho }_{0}}+\frac{4}{15}\sqrt{-15r-36\rho _{0}^{2}}$反映六角晶相原子密度的振幅。$q=\frac{\sqrt{3}}{2}{{\rho }_{0}}$, 为平均密度。本研究采用保守场Cahn-Hilliard动力学方程描述原子密度随时间的演化。该方程具体如下：

式中，t为时间变量。对无量纲动力学演化方程，采用半隐式傅里叶伪谱方法求解。

对双晶样品的制备步骤可参见文献[4-6]，设置参数，空间步长为Δx=Δy=π/4，样品尺寸设置为1 024Δx*512Δy长方形，满足周期边界条件。将样品区域分为3个矩形区域:0 < x < Lx/4, Lx/4 < x < 3Lx/4, 3Lx/4 < x < Lx。在Lx/4 < x < 3Lx/4区域内设置取向角为θ=-5°，在0 < x < Lx/4，3Lx/4 < x < Lx区域内设置取向角为θ=5°(θ为三角相原子排列与y轴的夹角)的三角晶相结构，这样得到的单相双晶的晶界取向差为10°。时间步长为Δt=0.5、样品弛豫时间取50 000 Δt、温度参数设置为γ=-0.6、原子密度取ρ₀=0.44。在弛豫完毕后得到稳定匹配的晶界。如图 1所示。

图 1 (Fig. 1)

图 1 驰豫50 000步后得到的初始样品示意图 Fig.1 Initial sample schematic after 50 000 steps of relaxation

从图 1模拟区域中的两列等倾对称晶界可以看到，各列晶界由10对晶格位错对组成且排成一列，第一列编号为a1~a10, 第二列编号为b1~b10，同一列晶界处的相邻晶格位错对之间的柏氏矢量方向相同，不同列晶界的晶格位错对的柏氏矢量彼此相反。而第一列的a10号位错(白色标识)是由3个原子空位形成的，与其余9对只有1个原子空位的位错(绿色标识)不同。因此, 在晶界上共有两种类型的晶界位错(即晶格位错对)结构。如图 2所示，对该样品沿y轴施加拉伸变形，设变形前y方向空间步长为Δy，在施加拉伸变形过程中，应变率ε在每一时间步长下，应变都有一增量Δε=εΔt，Δt为时间步长，则经过n时间步数的拉伸，拉伸后的y方向空间步长变为Δy^*=Δy(1+nεΔt)。再结合晶格原子密度演化的动力学方程，就可实现沿y轴方向施加拉伸应变作用的效果。本研究取ε=6×10^-6。为方便作自由能及应力曲线，驰豫完毕后，时间步数重新从0开始计数，用T表示。

图 2 (Fig. 2)

图 2 y轴施加拉力的示意图 Fig.2 Schematic diagram of applying tensile strain on y axis

虽然我们直接将拉力施加在模拟区域的上下两端的原子层上，在原子层间的耦合相互作用下，拉力被逐层地传递到位错核心处，使位错发生运动。但是，晶体上各部分具体受到拉力的作用是不相同的。

由图 3a可见位错a1和b10(淡黄色标识)在加力后T=28 750步长时有大量原子空位形成缺陷，裂纹开始萌生。此时，a2, a3, a4, a6, a7, a8, b3, b4, b5, b7, b8, b9这12对位错由原来的一个原子空隙扩展为形如a10葫芦状的3原子空隙团。而位错对a5, a9, b1, b2, b6不发生任何改变。

图 3 (Fig. 3)

(a)T=28 750, (b) T=38 880 图 3 样品的裂纹扩展演化貌图 Fig.3 The crack evolution morphology of the sample

在图 3b中当T增加到38 880步长时，a1与b10沿与柏氏矢量呈60°方向解理扩展出一段距离。此时a6及b5和之前的a1及b10一样萌生出裂纹，只是在时间上要落后一些。位错b1扩展成为3个原子空隙团，其余位错状态不变。

比较图 3中a和b我们可以得知，位错萌生裂纹需应变增大到临界值，有的位错受拉力作用大，如a1, a6, b5, b10，能量积累速率快，最先达到位错萌生裂纹的能量临界值而开裂。其他一些位错相对来说能量积累以及最后开裂就会慢一些。而绝大部分位错，受拉力作用弱，能量累积速率也相对要慢，当其他位错开裂后整个晶体的自由能开始释放，导致这部分位错的能量再无法继续积累增加到开裂的临界值，因此在扩张成孔洞后就停止活动。有极少一部分位错如a5，a9，b2，b6，由于其位置的特殊性，受拉力影响极其微弱，在整个过程中不做任何运动，也不出现任何扩展变化。

材料的自由能变化如图 4a所示，开始时沿a—b下降了一段距离，说明材料在开始时有一定的自由能积累。从微观角度分析，原子在稳定晶体内彼此靠得较近，相对于平衡位置有一极小的偏差，排斥力略大于吸引力。在拉力作用下，这部分能量逐渐释放。随着拉力的继续增大，原子间吸引力也逐渐增大，自由能沿着b—d增加。g—i段由于材料开裂自由能逐渐释放。图 4b为应力应变曲线，在e—c段线性上升，说明晶体先产生弹性形变。当施加的应变超过一定值时，在c点处部分位错发生变化，由原来的单原子间隙变为多原子间隙，材料开始进行范性形变。在d, e, f, g点处出现震荡也是和f点一样，是由不同位错的不同时变化扩展所引起的。两图中h点对应材料中位错对a1, b10开始萌生裂纹的时刻，i点对应位错对a6, b5开裂的时刻。这和之前的讨论是一致的，不同位错对的扩展变化或开裂具有不同时性。

图 4 (Fig. 4)

图 4 自由能及应力曲线 Fig.4 Curve of strain and free energy

在拉力作用下，自由能在材料中慢慢积累。晶体最初产生弹性形变，当能量累积超过某一临界值时，晶体开始产生范式形变，随后晶界位错开始萌生裂纹。但是由于拉力作用在各处位错是不相同的，所以各个位错的自由能积累效率不相同，导致位错运动出现3种情况：第1种是受拉力作用大的一些位错能量积累速率快，当积累到临界值时开始开裂，而且这些位错开裂还具有先后顺序。第2种是受拉力作用相对弱一点的位错，由于其他位错开裂使体系能量释放，导致无法积累增加到临界值，在扩张成多原子空位孔洞后就停止运动。第3种，有极少部分位错受拉力影响十分弱，能量几乎没有累积，自始至终都不会运动。